O modelo multi-compartimental SI(RD) com mudança de regime: uma aplicação à pandemia

Trabalho publicado sobre COVID 19 em Portugal com o apoio da Future Healthcare.

O título "The Multi-Compartment SI(RD) Model with Regime Switching: An Application to COVID-19 Pandemic" que admite a seguinte tradução, para Português, "O modelo multi-compartimental SI(RD) com mudança de regime: uma aplicação à pandemia de COVID-19" descreve de forma sucinta os dois principais aspectos do trabalho que detalhamos seguidamente.

Os principais resultados do trabalho são os seguintes:

  • houve uma redução do número de mortos associados à infecção quando foi imposta uma medida mitigadora da infecção, no caso, o confinamento;
  • o modelo devolve o número de mortos associados à infecção numa concordância notável com os dados observados em que há um erro por excesso de 2% face a estes dados observados;
  • para o assintomático e/ou não diagnosticado o valor mais plausível do número de contacto --- que é o número médio de novos infectados que um infectado origina --- é 50% do número de contato de um diagnosticado;
  • a taxa de mortalidade mais plausível - causada pela doença – para o assintomático e/ou não diagnosticado é zero;
  • o valor mais plausível para a duração da doença é de 7,5 dias.

As duas contribuições fundamentais são, primeiramente e na perspectiva da utilidade para a comunidade do trabalho, o estudo detalhado da primeira vaga da epidemia de COVID 19 em Portugal no ano 2020. O estudo pretende explicar os dados, dados observados em duas séries temporais: o número de casos e letalidade, isto é, o número de mortes associadas à doença nos infectados. Para tal usa-se um modelo de compartimentos correspondentes a classes na população total --- a saber: susceptíveis de ser infectados, infectados, recuperados e mortos --- modelo que, sublinhamos, contempla a classe dos mortos associados à doença; para além desta classe adicional que é, por nós, introduzida num modelo clássico, o modelo SIR estudado por muitos autores de entre os quais destacamos Kermack and McKendric em 1927, o modelo explorado neste trabalho considera que podem alterar-se num dado momento as condições que condicionam a mudança entre classes dos elementos da população. A alteração destas condições, que no caso do nosso estudo ocorre pela imposição do confinamento, impõe uma alteração do modelo. Os modelos do tipo considerado têm parâmetros que regem a evolução das mudanças dos elementos da população entre as classes, por exemplo, a taxa de mortalidade entre os infectados. Estes parâmetros, no trabalho, são considerados constantes antes do confinamento mas, a partir da data do confinamento mudam para outros valores que também ficam constantes no período em que há confinamento. Para ser possível explorar o modelo os parâmetros têm que ser estimados a partir dos dados observados --- dados da evolução do número de casos e da letalidade --- em cada um dos períodos, antes e depois do confinamento. O trabalho introduz um método de estimação dos parâmetros muito eficaz para o tipo de dados observados de que dispusemos.

 

A segunda contribuição essencial é a introdução e estudo de um modelo de evolução de uma população que enfrenta uma epidemia e está dividida em classes --- ou compartimentos --- nomeadamente: susceptíveis, infectados, recuperados e mortos; o modelo introduzido tem uma componente original que é a da mudança de regime. O modelo é um modelo de equações diferenciais que descreve a evolução no tempo das proporções das diferentes classes dos elementos da população em que, num dado regime, os coeficientes são constantes ocorrendo uma mudança de regime quando os coeficientes mudam. A mudança de regime corresponde, no caso considerado, a uma mudança brusca das condições que condicionam as reacções da população à infecção; mais especificamente, o confinamento, ao reduzir substancialmente os contactos entre os membros da população, reduziu também os contágios e, no modelo, há um parâmetro que descreve a intensidade dos contágios e que, naturalmente, deve alterar-se com o confinamento. O estudo deste modelo feito no trabalho consiste, essencialmente, em mostrar que se trata de um problema "bem-posto", isto é que o sistema de equações diferenciais tem solução e que esta solução é única; um resultado deste tipo é essencial quando, como é o caso no trabalho, as soluções do sistema de equações são calculadas numericamente uma vez que é impossível verificar que funções que só podem ser calculadas numericamente, com uso de software adequado, são soluções de um sistema de equações diferenciais. Se o sistema de equações diferenciais do modelo admite uma solução única, sob reserva que o processo de discretização das equações diferenciais conduz a uma sucessão de funções que converge para uma solução, temos a certeza que o resultado obtido corresponde a uma aproximação da solução única.

 

Face aos resultados do estudo enunciados acima, podemos concluir que o modelo explorado neste trabalho permite descrever de forma adequada o período da epidemia considerado, demonstrando a influência do confinamento na redução da mortalidade associada à doença e permite, ainda, tirar conclusões sobre quantidades não observadas, no período, tais como a mortalidade entre os infectados não diagnosticados e/ou assintomáticos, a duração média da doença e sobre a taxa de mortalidade entre os infectados não diagnosticados e/ou assintomáticos. Como consideração final sublinhamos que o modelos estudado é muito útil para estudos retrospectivos mas não permite efectuar previsões de evolução futura da epidemia; as razões para esta incapacidade em permitir previsões são, essencialmente, que cada novo episódio da epidemia ocorre numa população que terá uma reacção à infecção diferente da reacção da população no episódio anterior da epidemia, dado que um número significativo dos elementos da população já foi infectada pelo vírus; adicionalmente, o novo episódio da epidemia ocorre com uma variante do vírus do episódio anterior, variante esta que interage de forma diferente com a população, isto é, sendo geralmente observado em infecções virais deste tipo, recorrentes várias vezes num ano que a nova variante do vírus é mais contagiosa e menos letal, que a variante anterior.

 

Consulte o trabalho completo em https://www.mdpi.com/2073-8994/13/12/2427

 

Agradecimentos: O presente artigo foi publicado com o apoio financeiro da Future HealthCare. Os autores gostariam de agradecer à Future HealthCare pelo seu interesse no estudo e pelo apoio financeiro essencial para a publicação do presente artigo.