Trabajo con el apoyo financiero de Future Healthcare.
El trabajo titulado “The Multi-Compartment SI(RD) Model with Regime Switching: An Application to COVID-19 Pandemic” fue publicado en la revista Symmetry (2021), nº 13, pp. 2427 (https://www.mdpi.com/2073-8994/13/12/2427) con el apoyo financiero de Future Healthcare.
El título, que admite la siguiente traducción al español, “El modelo multi-compartimental SI(RD) con cambio de régimen: una aplicación a la pandemia de COVID-19” describe resumidamente los dos aspectos principales del trabajo, que detallamos a continuación.
Los principales resultados del trabajo son los siguientes:
- Hubo una reducción del número de muertos asociados a la infección cuando se impuso una medida mitigadora a la infección, en este caso, el confinamiento;
- el modelo da el número de muertos asociados a la infección en una concordancia notable con los datos observados en que hay un error por exceso del 2% frente a estos datos observados;
- para el asintomático y/o no diagnosticado el valor más plausible del número de contacto — que es el número medio de nuevos infectados que un infectado origina — es el 50% del número de contacto de un diagnosticado;
- la tasa de mortalidad más plausible – causada por la enfermedad – para el asintomático y/o no diagnosticado es cero;
- el valor más plausible para la duración de la enfermedad es de 7,5 días.
Las dos contribuciones fundamentales son, primero y dentro de la perspectiva de utilidad para la comunidad del trabajo, el estudio detallado de la primera ola de la epidemia de COVID 19 en Portugal en 2020. El estudio busca explicar los datos observados en dos series temporales: el número de casos y letalidad, es decir, el número de muertes asociadas a la enfermedad en los infectados. Para eso se usa un modelo de compartimientos correspondientes a clases en la población total — a saber: susceptibles de ser infectados, infectados, recuperados y muertos — modelo que, destacamos, contempla la clase de los muertos asociados a la enfermedad; además de esta clase adicional que introducimos nosotros en un modelo clásico, el modelo SIR estudiado por muchos autores entre los que destacamos Kermack and McKendric en 1927, el modelo examinado en este trabajo considera que en un determinado momento se pueden alterar las condiciones que condicionan el cambio entre clases de los elementos de la población. La alteración de estas condiciones, que en el caso de nuestro estudio se da por la imposición del confinamiento, impone una alteración del modelo. Los modelos del tipo considerado tienen parámetros que rigen la evolución de los cambios de los elementos de la población entre las clases, por ejemplo, la tasa de mortalidad entre los infectados. Estos parámetros, en el trabajo, se consideran constantes antes del confinamiento, pero a partir de la fecha del confinamiento cambian para otros valores que también permanecen constantes en el periodo en que hay confinamiento. Para que sea posible examinar el modelo, los parámetros tienen que estimarse a partir de los datos observados — datos de la evolución del número de casos y de la letalidad — en cada uno de los periodos, antes y después del confinamiento. El trabajo introduce un método de estimación de los parámetros muy eficaz para el tipo de datos observados de los que disponíamos.
La segunda contribución esencial es la introducción y estudio de un modelo de evolución de una población que enfrenta una epidemia y está dividida en clases — o compartimientos — en especial: susceptibles, infectados, recuperados y muertos; el modelo introducido tiene un componente original que es el del cambio de régimen. Se trata de un modelo de ecuaciones diferenciales que describe la evolución en el tiempo de las proporciones de las diferentes clases de los elementos de la población en que, en un determinado régimen, los coeficientes son constantes y hay un cambio de régimen cuando los coeficientes cambian. El cambio de régimen corresponde, en el caso considerado, a un cambio brusco de las condiciones que condicionan las reacciones de la población a la infección; pero específicamente, el confinamiento, al reducir sustancialmente los contactos entre los miembros de la población, redujo también los contagios y, en el modelo, hay un parámetro que describe la intensidad de los contagios y que, naturalmente, debe alterarse con el confinamiento. El estudio de este modelo hecho en el trabajo consiste esencialmente en mostrar que se trata de un problema “bien-planteado”, es decir que el sistema de ecuaciones diferenciales tiene solución y que esta solución es única; un resultado de este tipo es esencial cuando, como es el caso en el trabajo, las soluciones del sistema de ecuaciones se calculan numéricamente ya que es imposible verificar qué funciones que sólo pueden calcularse numéricamente, usando un software adecuado, son soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales. Si el sistema de ecuaciones diferenciales del modelo admite una solución única, sin perjuicio de que el proceso de discretización de las ecuaciones diferenciales conduzca a una sucesión de funciones que converge en una solución, estamos seguros de que el resultado obtenido corresponde a una aproximación de la solución única.
Frente a los resultados del estudio enunciados arriba, podemos concluir que el modelo examinado en este trabajo permite describir de forma adecuada el periodo de la epidemia considerado, demostrando la influencia del confinamiento en la reducción de la mortalidad asociada a la enfermedad, y además permite sacar conclusiones sobre cantidades no observadas en ese periodo, como la mortalidad entre los infectados no diagnosticados y/o asintomáticos, la duración media de la enfermedad y sobre la tasa de mortalidad entre los infectados no diagnosticados y/o asintomáticos. Como consideración final subrayamos que el modelo estudiado es muy útil para estudios retrospectivos pero no permite efectuar previsiones de evolución futura de la epidemia; las razones por las que no se pueden hacer previsiones son esencialmente que cada nuevo episodio de la epidemia se da en una población que tendrá una reacción a la infección diferente a la reacción de la población en el episodio anterior de la epidemia, dado que un número significativo de los elementos de la población ya fue infectado por el virus; además, el nuevo episodio de la epidemia se da con una variante del virus del episodio anterior, variante que interactúa de forma diferente con la población, es decir, que generalmente se observa en infecciones virales de este tipo, recurrentes varias veces al año, y que la nueva variante del virus es más contagiosa y menos letal que la variante anterior.
Más detalles de este estudio están disponibles en https://www.mdpi.com/2073-8994/13/12/2427